Procent och enheter

Om banken höjer räntan från fyra till fem procent, så har de höjt räntan med en procentenhet men också med 25 procent. En avsevärd skillnad.

- Lars-Gunnar Andersson, "Språkfrågor och matematik", GP 22 oktober 2022

Många verkar ha tillräckligt med problem redan när det gäller att räkna med procent. Att då komma dragandes med procentenheter kan få dem att exempelvis sluta läsa en sån här text.

Åtminstone i media så är nog förväxlingar med procent och procentenheter vanligast i opinionsmätningar. Om ett parti får 20 % i en undersökning och 22 % i nästa, så känns det naturligt att säga att de ökat 2 %. Ingen lär heller missförstå den utsagan, annat än med flit. (Och i politiska sammanhang verkar det finnas många som sätter en ära i att missförstå så mycket som möjligt med flit.) Om man, helt korrekt, skulle säga att partiet ökat med 10 % så skulle desto fler missförstå, på riktigt.

För den som känner till skillnaden mellan procent och procentenheter – att ökningen är på 10 procent och 2 procentenheter, samtidigt – inställer sig nästa fråga: Hur noga ska man vara med vad man säger?

Vad gäller procent–procentenhet är det rimligt att ställa olika krav på fackspråk och allmänspråk. I det förra fallet ska orden hållas isär. I vardagsspråket kan det kanske till och med uppfattas som tillgjort att säga procentenheter i stället för procent när låneräntan kommer på tal. Men på den här punkten har vi säkert olika uppfattningar.

Här kan man fundera på när man använder fackspråk respektive allmänspråk, när man är offentlig respektive privat; det är ibland självklart, ibland inte alls. Men det finns ju språkpoliser som alltid är i tjänst, och som inte kan förstå varför man någonsin skulle låta något fel passera, oavsett storlek, sort eller situation. Det är den skaran som inkluderas i textens "vi".

Faktoidpodden avsnitt 22: Matematik

Om olika sorters mille, billions och megabyte. Vad är det för skillnad på en algoritm och en logaritm, bortsett från att det är helt olika saker? Och framför allt tar vi en titt på det gyllene snittet, några faktiska egenskaper och några inbillade, och dess likhet med en pyramid.

Här finns avsnittet som prat

Det här avsnittet ska handla om matematiska faktoider, eller åtminstone faktoider med en eller annan koppling till matte. Den exaktaste av vetenskaper, så grundläggande i vår verklighet att man diskuterar om det alls är en vetenskap, eller kanske någonting annat. Givetvis finns det faktoider även där. 

Nu är det visserligen rätt lättviktigt material, det mesta jag ska ta upp här. Jag är säker på att det i matematiken, liksom i alla andra ämnen, finns avancerade faktoider, som man behöver ha ett par tre högskoleterminer innanför bältet, minst, innan man kan ens börja begripa vad det handlar om. Sådant ska jag, som vanligt, inte ta upp. Avsnittets faktoider är fullt begripliga även om man inte kan mycket mer än plus, minus och procent.

Hur som helst. Jag ska börja i den grunda änden, med några språkliga fallgropar inom matematikens område. En liten fallgrop gäller ordet mille. Det är inte så ovanligt, och, ja, vad betyder det? Idag är "mille" förkortning för miljon och ingenting annat. "Mille" finns inte med i SAOL men väl akademiens Svensk Ordbok. Där anges mycket riktigt betydelsen som "miljon, särskilt om pengar" med anmärkningen "vardagligt"; det är inget ord man hittar i statsbudgeten eller så. Slår man upp Svenska Akademiens Ordbok hittar man också mille, men vad betyder det där? – I SAOB betyder "mille" tusen! Med anmärkningen "i synnerhet i fackspråk".

Man kan till exempel hitta spikförpackningar som anges
innehålla "1 mille" – inte en miljon spikar då, utan tusen.

Artikeln i SAOB är från 1944, ska sägas. Numera finns väl tusen-betydelsen bara kvar i begreppet promille, tusendel. Jag vet inte när tusen-mille övergick till miljon-mille, men antar att det var utan större krångel. Det är ju såpass stor skillnad mellan tusen och miljon att det för det allra mesta framgår av sammanhanget vilken storleksordning som gäller.

För det allra mesta … Nästa faktoid är en liknande språklig fallgrop, som kan man trampa i när man växlar mellan svenska och engelska. En svensk miljard, tusen miljoner, den heter ungefär likadant på danska och norska, tyska och franska, och flera andra språk. På engelska däremot, heter miljard som bekant billion. Det där har de allra flesta koll på, så det ska inte vara några större problem. Men det har varit betydligt värre. Länge var en brittisk billion tusen miljarder, en miljon miljoner, medan en amerikansk billion var en miljard. Det där hänger ihop med något som heter korta och långa skalan, i den ena ökar man med tusen för varje steg, i den andra en miljon. Men det är överkurs.

Det brittiska ordet för miljard var just milliard, men det användes mycket sällan. Sådana tal används väl mest inom ekonomi, och pundets värde gjorde att man sällan hade anledning att tala om belopp på milliard pounds. I vilket fall som helst så började från 1950-talet den amerikanska definitionen att bli allt vanligare i brittiska sammanhang. Då måtte det varit jobbigt – när folk använder samma ord med lite olika betydelser. Så småningom blev det för jobbigt, och man bröt i Storbritannen med den gamla betydelsen. På bland annat Wikipedia kan man hitta uppgiften att man bytte officiellt 1974. Hur gick det till? Så här: Parlamentsledamoten Robin Maxwell-Hyslop, från Tories förresten, ställde en officiell fråga till den nye premiärministern Harold Wilson, som förresten kom från Labour: Skulle hans regering använda ordet billion i den gamla brittiska betydelsen, en miljon miljoner, för att undvika förvirring? På vilket Wilson svarade att nej, de kommer att använda ordet billion i den internationella, som han skrev, betydelsen tusen miljoner, för att undvika förvirring. Det där är det "officiella" bytet. Jag känner inte till något annat fall där ett demokratiskt lands ledare beordrat hur ett ord ska användas, åtminstone inte där påbudet blivit åtlytt.

Att svenska miljarder är engelska billions är som sagt inget större problem. Men vad ska man tänka om man i en svensk text läser om biljoner? Är det någon som översatt slarvigt från engelskan, eller snarare inte översatt alls, eller avses verkligen svenska biljoner, som ju är tusen miljarder? Och som förresten heter trillions på engelska. Ej att förväxla med svenska triljoner, som är miljarder miljarder … Ja, i vanliga texter stöter man ju långt mer sällan på tal i den storleksordningen än miljarder och billions. I vetenskapliga sammanhang använder man ju prefix som mega, giga och tera, och dem är det ju långt mer ordning på än de vardagliga orden.

Nu ska jag ta upp några fallgropar som man kan hamna i när man använder prefix som mega, giga och tera. I vardagligt språk, när man inte pratar vetenskap eller möjligen el, är de överlägset vanligast inom data. Det kanske låter som en dum fråga, men hur mycket är en kilobyte? Kilo, det står ju för tusen, vet vi; ett kilogram är tusen gram, och då borde ju en kilobyte vara tusen byte? Nästan, men inte riktigt. En kilobyte är lite mer än tusen byte. Och en megabyte är lite mer än en miljon byte, och så vidare.

Det där har att göra med hur datorer räknar. Datorer jobbar ju innerst inne med ettor och nollor, och ingenting annat. När de räknar på egen hand, så att säga, så är det inte med det decimala systemet, där tal skrivs med siffrorna 0–9, utan det binära systemet, där tal skrivs med ettor och nollor.

I varje talsystem finns det vissa tal som är "jämna" och avrundade. I det decimala systemet är det tal som 10, 100 och 1000. I det binära systemet är det tal som till exempel 16 och 64 och 256. Det är därför de talen ideligen dyker upp i datasammanhang. Till exempel ser man ju aldrig USB-minnen på 10 Gb, eller 25 eller 50.

Ett sådant tal, som är "jämnt" och avrundat i det binära talsystemet, och därmed praktiskt för datorer, är 1024. Den tekniska anledningen, om man är intresserad av den, är att man med tio bitar kan räkna med tal från 0–1023. Man kan också formulera det som att för datorer är 1024 lika "jämnt", avrundat och käckt att räkna med som 1000 är för oss. Det är därför man en gång i tiden definierade kilobyte som, inte 1000 byte, utan 1024 byte. Det är ju praktiskt taget 1000 byte, men 1024 är mer hanterligt och praktiskt för datorerna.

Tar man 1024 x 1024 får man 1 048 576. Det är en megabyte. Inte en miljon byte, utan lite mer, nästan 5 % mer. Men det är ju praktiskt taget en miljon, och, åter igen, käckare för datorerna att räkna med.

Räknar vi vidare ser vi att en gigabyte är en miljard byte plus 7,3 %. Och en terabyte är en biljon byte – tusen miljarder – plus nästan 10 %. Skillnaderna mellan, ska vi säga, det förväntade antalet och det faktiska blir större ju större tal vi använder.

Spelar det här någon praktisk roll? Jag känner inte till något faktiskt problem med systemet. Däremot hade det definitivt ställt till med problem om man en gång i tiden sagt att nä! en kilobyte ska vara ettusen byte, prick! Det hör man ju! Och tillverkat datorer där ett minne på 4 096 byte vart på 4,096 kbyte. Eller ännu värre, haft minnen på prick 4 000 byte istället för mer hanterliga 4096 byte. Då hade man fått krångel.

Hur som helst så finns det folk som bekymrat sig för skillnaderna. De har tagit fram nya prefix där man skiljer på de som är praktiska för folk och de som är praktiska för datorer. I det systemet så är en kilobyte exakt tusen byte, en megabyte exakt en miljon byte och så vidare. Om man har 1024 byte, ja, det kallas en kibibyte. En miljon 48 000 och så vidare kallas mebibyte. Sen kommer gibibyte och tebibyte. Jag vet inte om de här enheterna slagit igenom någonstans, bland vanliga användare. Om ni ser förkortningar som "KiB", med i:n inuti, så står det för "kibibyte" och så vidare, medan "KB" står för "kilobyte".

Jag tar ännu en språkfråga, åter igen med koppling till såväl matematik som datorer. Den här är definitivt liten och oviktig. Det gäller algoritmer och logaritmer. Vad är det?

En algoritm definieras som en systematisk procedur som anger hur man utför en beräkning eller löser problem. "Systematisk procedur", det kan bli ett program, det. Eller åtminstone en del i ett program, som löser eller beräknar något särskilt moment.

En logaritm, ja, det är något helt annat, till att börja med. Jag vet inte om det är lättare eller krångligare att beskriva, men det låter åtminstone värre. Så här: I Nationalencyklopedin definieras "logaritm" som "den exponent till vilken ett positivt tal a måste upphöjas för att ett givet tal x skall erhållas". Okej … Om man till exempel använder tiologaritmer, där a = 10, så behöver man upphöja 10 till 1 för att ge just 10; 10 upphöjt till 2 ger 100, och så vidare. Så tiologaritmen för 10 är 1, för 100 är den 2, och så vidare. Och man är inte alls begränsad till "jämna" tal heller, tiologaritmen för, ska vi ta, 55 är lite drygt 1,74. Sen finns det andra sorters logaritmer man kan använda, och som man använder.

Det här ligger lite utanför de fyra räknesätten. De allra flesta stöter aldrig någonsin på logaritmer, och mår alldeles utmärkt för det. Inom vissa sorters matematik, fysik och andra vetenskaper är logaritmer som luften man andas: de finns överallt, eftersom de är väldigt praktiska och användbara inom vissa beräkningar och annat.

Hur är det med algoritmer då? Ja, de har åtminstone blivit omtalade på sista tiden. När man diskuterar vad Facebook eller Google, alltså själva datasystemen, gör med sina floder av data, så kallar man dem inte för "system" eller "program", utan man talar om deras "algoritmer". Inget fel på det, tvärtom; algoritmerna är det väsentliga. Jag misstänker visserligen att det inte är därför "algoritm" slagit igenom som nyord, utan att det är den vanliga aptiten på nya ord och begrepp som ligger bakom.

Hur som helst. Här har vi två olika ord, som båda kan uppfattas som datamässiga och avancerade, och som dessutom är väldigt lika, till det yttre i alla fall; de är ju rentav varandras anagram. Det är nog därför som folk ibland har förväxlat dem. Man kan se allvarliga debatter om filterbubblor eller patent på mjukvaror eller vad det nu är, där man då och då nämner programmens "logaritmer". Ja, det här är ju inget problem alls, eftersom det är uppenbart vad som avses. Men lite roligt tycker jag att det är.

Nu ska jag avsluta med en rejäl faktoid, rejäl på så sätt att den kräver lite mer bakgrund. Den börjar i matematiken, inga konstigheter så långt, men när den tillämpas på andra områden blir det betydligt intressantare; ur faktoid synpunkt, då. Det gäller det gyllene snittet. Är det känt?

För att diskutera det gyllene snittet måste jag först förklara vad det är. Det här kommer att ta en liten stund, men det får ni stå ut med.

Vi har en sträcka, en rak linje. Vi delar upp sträckan i två delar. Den kortare delen kallar vi a, den längre b. Om man gör den uppdelningen på ett speciellt ställe – om vi har en sträcka på en meter görs den strax före 62 cm – så kommer den kortare sträckan a:s förhållande till sträckan b att vara likadant som b:s förhållande till hela sträckan. Sträckan a:s förhållande till b är likadant som sträckan b:s förhållande till hela sträckan … Matematiskt uttryckt blir det a + b : b = b : a. Ja, det där blir tydligare i skrift, och det blir ännu bättre med en illustration. Framför allt blir det mycket enklare om man är matematiskt lagd och är van vid att tänka i termer av kvoter och sånt; men vi kör på.

Ta en kvadrat där a = 1. Lägg till en rektangel, så att den lilla
och stora rektangeln har samma proportioner. Då är a + b = φ.
Tänk så mycket enklare det kan bli med en bild …

Om vi sätter den längre sträckan b till 1, så blir hela sträckan a + b = 1,618033 … Och så vidare, så länge man vill faktiskt – den där decimalföljden tar aldrig slut. Det är bara en av många intressanta egenskaper hos det gyllene snittet som jag inte alls ska gå in på här. Nu blir det ju lite omständligt att använda en oändlig decimalföljd till vardags. Så när matematiker använder det här värdet, och det gör de då och då, brukar de förkorta det med en grekisk bokstav: lilla φ. Lilla φ är inte lika allmänt känd som lilla π, men båda används flitigt inom matematiken. På samma sätt kan värdet a, den kortare sträckan, skrivas som stora Φ.

Om du plockar fram en miniräknare, här och nu eller när som helst, så kan du göra ett enkelt test. Knappa in 1, och dividera det med 1,618033; vi nöjer oss med sex decimaler här. Resultatet blir … 0,618034, osv. Såg du? Det är ungefär samma decimalföljd, men inledd med en nolla istället för en etta. Det första talet är stora Φ, det andra lilla φ. Och ju exaktare värde på stora Φ vi använder, ju fler decimaler vi knappar in efter 1,618 osv, desto närmare kommer resultatet att ligga lilla φ. Det är en del av magin med det gyllene snittet.

Den förste som vi vet upptäckte det gyllene snittet var Euklides, omkring 300 f.Kr. Ibland nämns Pytagoras, han var igång ungefär 200 år tidigare, men det finns inga belägg för att han skulle ha känt till det gyllene snittet. Från Euklides tid blev grekiska matematiker mycket intresserade av ett antal egenskaper hos talet, som vi, som sagt, inte ska gå in på här. Men vi vet att det gyllene snittet var känt på den tiden.

Jag ska strax fortsätta med gyllene snittet och dess faktoid, men först en liten utveckling. Som rymmer en egen liten faktoid. Omkring år 1200 fanns en matematiker i Pisa. Han hette Leonardo, och därför kallades han, och kallas fortfarande, ibland, Leonardo av Pisa, på italienska Leonardo Pisano. Förväxlas ej med en senare Leonardo från staden Vinci, som förresten också ligger i Toscana.

Leonardo från Pisa gjorde en hel del saker som inte har med det gyllene snittet att göra. Som när han träffade muslimska matematiker och lärde sig det hindu-arabiska talsystemet, eller "arabiska siffror" som de brukar kallas, eftersom det var via dem det kom. Det systemet var oerhört mycket mer användbart för de allra flesta ändamål än det romerska, som man fortfarande använde för allt möjligt. Inte minst för att det nya systemet hade nollan, en uppfinning som är så enkel och ändå så gruvligt kraftfull att det är svårt att ta till sig. Nu tog det visserligen ett tag för just det här systemet att slå igenom i Europa. Men så småningom så var det just vad som hände, och vi använder det ju än idag, med 0–9 istället för I, VII, MCMLXIV och så vidare.

En annan sak som Leonardo gjorde var att uppfinna en talföljd. Man börjar med en helt liten talföljd, 1 och 1. Vi adderar de två talen: 1 + 1 = 2. Resultatet läggs till talföljden, som nu är 1, 1, 2. Vi lägger ihop de två sista talen, 1 + 2 = 3, och lägger resultatet till talföljden: 1, 1, 2, 3. Vi upprepar med de två sista talen och får en 5:a. Upprepar igen och får 8. Och så vidare. Talserien växer till 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 … Och så vidare.

Den talserien är hyfsat känd även utanför matematikerfacket, och ni har nog hört talas om den. Men med största säkerhet under ett annat namn på Leonardo. Det namnet kläckte man av någon anledning fram på 1800-talet. Sen dess har det satt sig, stenhårt, och lär aldrig gå bort. Trots att det är ohistoriskt. Men det låter medeltida och bra, och det är kanske därför det blivit som det blivit – jag vet inte. Namngivaren utgick från Leonardos far, som hette Guglielmo Bonaccio. "Bonaccios son" blir på latin filius Bonacci, vilket hopdraget blir Fibonacci. Fibonaccis talföljd, är vad den brukar kallas.

Fibonaccis talföljd har en mängd intressanta egenskaper som vi fortfarande inte ska gå in på. Utom en. Vi tar två tal i talföljden, vilka som helst, som ligger intill varandra. Till exempel 21 och 34. Och så dividerar vi dem med varandra. 21 : 34 ≈ 0,619 och 34 : 21 ≈ 1,619. Känns det igen? Och ju längre fram i Fibonaccis talföljd vi går och dividerar intilliggande tal, desto närmare ligger den förstnämnda kvoten stora Φ, och den andra kvoten lilla φ. Det gyllene snittet finns i Fibonaccis talföljd. Hur go e den? Ja, det gyllene snittet finns på ännu flera ställen i matematiken. Och inte bara där. Till exempel bildar fröna i en solros spiraler, där frönas antal följer Fibonacci-följden. Andra växter bildar spiraler av blad, där samma matematik kan spåras. Det gyllene snittet finns i naturen. Hur go e den?

Loggan för SVT:s Vetenskapens värld har en spiral, skapad av en serie gyllene rektanglar. Den spiralen har ofta förväxlats med pärlbåtens spiral. (Noga räknat är så kallade Fibonacci-spiraler och gyllene spiraler visserligen bra lika, men inte identiska.)

 

En pärlbåt och en Fibonacci-spiral. Ofta brukar man nöja sig med detta.

Men – allt som påstås följa det gyllene snittet i naturen gör det inte. Det mest kända exemplet utgörs av en bläckfisk som kallas pärlbåt, Nautilus. Dess vackra skal bildar en spiral där folk påstår sig kunna se den harmoniska matematiken. Men om man inte nöjer sig med påståenden utan faktiskt börjar mäta, så märker man att påståendena inte håller. Det gyllene snittet finns inte i pärlbåtarnas spiraler.

En som tog sig för att faktiskt mäta heter George Hart. Han gjorde sig även besväret att
ta fram en pärlbåts-modell som faktiskt återspeglar det gyllene snittet. Den ser inte
precis ut som de man hittar i naturen … Ses på Youtube: The Golden Ratio Nautilus.

Om man tar två intilliggande Fibonacci-tal och gör en rektangel av dem, så får man en så kallad gyllene rektangel. Den kan alltså vara 34 x 21 cm, eller 8 x 13, eller 987 x 610 och så vidare. Under renässansen hävdades att denna rektangel var den vackraste och mest harmoniska rektangel som tänkas kan. Konstnärer och arkitekter började använda sig av den. Och hur var det med de tidigare mästarna – nog borde de ha känt till den? Man började leta efter gyllene rektanglar i äldre verk … Och hittade dem också. Än idag kan man ofta se påståenden om att gyllene rektanglar, och andra manifestationer av det gyllene snittet, finns i, för att ta de två mest använda exemplen, Parthenon-templet på Akropolis (som förresten byggdes över hundra år innan Euklides föddes) liksom i tavlor av Leonardo da Vinci, i synnerhet Mona Lisa.

Typiskt exempel på Parthenon med gyllene rektanglar. Notera den godtyckliga
basen och de tjocka linjerna. Detta bevisar naturligtvis ingenting.

För att demonstrera det här visas bilder med inritade kvadrater, spiraler och linjer, dragna på ett sådant sätt att det visar det man vill visa. Men att den här linjen eller den här rektangeln skulle gå utmed just den här detaljen i Mona Lisa är inte alls självklart. Och om man tar en bild av Parthenon rakt framifrån, eller en planritning uppifrån, så finner man att den vid första påseendet enkla arkitekturen har en mängd detaljer som man kan rita upp rektanglar runt eller bredvid på olika sätt. Och får man det ändå inte att passa riktigt riktigt, så kan man alltid rita in dem med en tjockare penna.

En annan Leonardo-tavla där man lagt in en gyllene rektangel är ett
ofullbordat porträtt av Hieronymus, han som översatte Bibeln till latin.

Dessutom problematiseras sällan idén om det gyllene snittet i äldre arkitektur och konst; även om det blivit vanligare på senare år. Man har inte gjort som jag gör här, och påpekat att de historiska beläggen för att greker, romare, egypter med flera använde sig av det gyllene snittet är högst otydliga eller direkt obefintliga. Tvärtom lägger man fram det som ett odiskutabel faktum. I ett sådant sammanhang kan även dassiga illustrationer ge intryck. Vilket demonstreras av att myten hängt med så länge, och finns på så många ställen, även bland folk som verkligen borde veta bättre.

Att leta efter det gyllene snittet på det här sättet är en nära släkting till pyramidmätning. Vad är det? Pyramidmätning går ut på att man tager Kheops pyramid vid Giza – varför nu den pyramiden är den enda av Egyptens över hundra som duger. Sedan mäter man höjd och bredd och diameter och vinklar, man mäter avståndet från markytan till ingången, tunnelns längder utmed olika avsnitt, kamrarnas längder, höjder och bredder, man mäter stort och smått, högt och lågt, överallt där det finns något att mäta. Pyramidens grundform är visserligen nog så enkel, men på byggnaden finns det finns väldigt många detaljer att mäta, det går att få fram massor med tal. Sedan tar man dessa tal och adderar, subtraherar, multiplicerar och dividerar dem med varann, tills man fått fram något intressant. Som jordens omkrets, avståndet till solen, värdet på π eller e eller varför inte lilla φ eller stora Φ, eller något annat tal från matematik, fysik, geografi, astronomi eller vad man vill – det är bara att välja! – som visar att de gamla egyptierna hade mycket bättre koll på världen än man kunde förvänta sig. Om man nu tänker sig att det berott på kontakt med Gud eller andevärlden eller utomjordingar, eller att de helt enkelt var hyperintelligenta övermänniskor.

Sån här pyramidmätning började man med på 1800-talet. Den mest kände pyramidmätaren hette Charles Taze Russel, han är ännu mer känd som grundaren av en sekt som så småningom skulle kalla sig Jehovas vittnen. Enligt honom byggdes den stora pyramiden av Israels folk – det är en annan faktoid som jag berörde helt kort i Faktoidpodden: avsnitt 18 – som i byggnaden kodade in en mängd kunskap som de fått av Gud; Russel kallade rentav pyramiden "Bibeln i sten".

Ja, det där är, i korthet, vad pyramidmätning går ut på. Och med det avslutar jag faktoiden om det gyllene snittet, och detta avsnitt av Faktoidpodden.

Jobs räknar

Jobs went to a whiteboard and showed that if there were five million people using the Mac, and it took ten seconds extra to turn it on every day, that added up to three hundred million or so hours per year that people would save, which was the equivalent of at least one hundred lifetimes saved per year.

- Walter Isaacson, Steve Jobs (2015)

På möten och föreläsningar kan matematiska övningar som ovan fungera fint. Särskilt eftersom folk sällan orkar kontrollräkna. Fast det blir desto jobbigare om det finns någon gnet som faktiskt går igenom övningarna och ser om de håller – det vill säga, om de inte gör det.

Håller Steve Jobs övning?

5 miljoner x 10 sekunder = 50 miljoner sekunder ≈ 13 900 timmar. Den tiden multiplicerad med 365 ger drygt 5 miljoner timmar. Det är en bra stund! Men för att få 300 miljoner timmar/år behöver alla fem miljoner Mac-användare starta om sin dator 60 gånger om dagen …

Hur många livstider blir det då? Om vi sätter en livstid till 75 år blir det 657 000 timmar, skottår oräknade. De 300 miljoner timmarna i Jobs exempel skulle bli 456 livstider – avgjort "at least one hundred". Om vi istället tar 5 miljoner timmar och dividerar med 657 000 blir det 7,6 livstider.

Eric Tucker, på vars blogg jag hittade det hela, såg en annan version av samma påstående:

Well, let’s say you can shave 10 seconds off the boot time. Multiply that by 5 million users and that’s 50 million seconds every single day. Over a year, that’s probably dozens of lifetimes. Just think about it. If you could make it boot 10 seconds faster, you’ll save a dozen lives. That’s really worth it, don’t you think?

- Jobs citerad av Andy Herzfeldt i Revolution in the Valley (2004)

Ett dussin, eller flera? Men även ett ensamt dussin är mer än 7,6.

Det är uppenbart att Jobs inte räknade särskilt noggrannt i dessa exempel. Och så ofta som påståendet upprepats genom åren är det uppenbart att det funnits färre kontrollräknande gnetar än man skulle kunna tro. Det kan särskilt nämnas att räknandet gjordes i augusti 1983 och avsåg den första generationens Macintosh.

Tucker noterar att det första citatets 300 miljoner timmar är 60 gånger större än vad det borde ha varit. Han misstänker att Jobs dividerade med 60 en gång istället för två – sekunderna blev minuter istället för timmar. Men han konstaterar även att poängen med räkneövningen var att motivera Apple-folket att reducera datorernas starttid, vilket de också lyckades med. Hade de blivit lika motiverade om Jobs fått rätt på storleksordningen?

Eric Tucker: Math Pierces Steve Jobs' Reality Distortion Field After 35 Years, 24 september 2018

Algoritmer och logaritmer

algoritm: inom matematik och databehandling en systematisk procedur som i ett ändligt antal steg anger hur man utför en beräkning eller löser ett givet problem. 

logaritm: den exponent till vilken ett positivt tal a måste upphöjas för att ett givet tal x skall erhållas.

- NE

Algoritmer och logaritmer har gemensamt att de hör till matematiken, och händelsevis är varandras anagram. Där upphör likheterna. Men av samma anledningar – de är "matematiska" och låter inte helt olika – har de ofta blandats ihop.

I Sverige är det, enligt nuvarande lagstiftning, tillåtet att ta patent på färdig programvara. Denna är att betrakta som en vara och skall också skyddas som en sådan. Däremot är det inte tillåtet att ta patent på de logaritmer som en programvara är uppbygd av.

- Tanja Linderborg m.fl. (V): Motion 2001/02:L32 Patent på mjukvara

Det är tur i oturen att företeelserna är såpass olika att man (alltid?) med lätthet kan förstå vad som avses. Eftersom algoritmer förekommer i programvara, och på sistone dessutom blivit rejält omtalade när man diskuterar vad sociala medier som Facebook, Twitter & co gör med sina datafloder, så har folk utan större matematiska och/eller datalogiska kunskaper haft anledning att ta upp dem. Jag känner inte till något liknande allmänt behov av att uttala sig om logaritmer. Så om det första intrycket är oklart, så kan man ta till den enkla tumregeln att "logaritmer" som regel avser algoritmer.

När verkligheten är konstig: Monty Hall

Monty Hall himself

När man ska välja hur sannolik en förklaring verkar vara, så blir det lätt ovetenskapligt. Det gäller den egenskap som kan sammanfattas som sannolikhet, rimlighet eller elegans; hur känns det här för mig? För även om den egenskapen är nog så användbar i nio fall av tio så behöver den inte ha med verkligheten att göra. Verkligheten kan vara hur apart och besynnerlig som helst. Eller så här: Verkligheten bryr sig inte om vad du tycker.

Det finns flera fina exempel på hur verkligheten kan vara till synes orimlig. En av mina favoriter är det som kallas Monty Hall-problemet. Det är mycket lätt att beskriva och förstå, liksom att visa att det inte beter sig som många av oss tycker att det borde.

Själva problemet, i all sin enkelhet:

Du deltar i en spelshow. Du får välja mellan tre dörrar. Bakom en av dem finns en bil, bakom de två andra getter. Du väljer en av dörrarna, t ex nr 1. Programledaren, som vet vad som finns bakom dörrarna, öppnar nu en annan dörr, t ex nr 3, med en get bakom. Nu frågar han: "Vill du välja dörr nr 2?" Vinner du någon fördel om du byter dörr?

(Problemet konstruerades av Steve Selvin 1975. Det fick namn efter den välkände programledaren för tv-showen Let's Make A Deal. Där fanns det en mängd moment i den stilen; tar du hemliga lådan eller tusen dollar? Osv.)

Vilket är svaret? Facit: Om man byter dörr så fördubblas vinstchansen. Hur rimligt "känns" det?

Det finns flera sätt att avgöra att det är sant. Ett mindre elegant, men på sitt sätt effektivt, är att köra datorsimuleringar som snart visar hur tydlig fördel byt-strategin har. Ett annat är att omformulera problemet:

Ett sätt att visa den skeptiske att det är bättre att byta är att föreställa sig 100 olika dörrar, 99 getter och 1 bil. När man gjort sitt val så öppnar spelledaren 98 av de andra dörrarna med getter bakom. Det finns då bara 2 dörrar kvar. Ska jag stå fast vid min första chansning eller byta? Vid det första valet var det bara 1 chans på 100 att pricka rätt på direkten. Vid andra valet är det bara 2 dörrar kvar och fortfarande 1 på 100 att man råkade träffa rätt i första valet. Precis som i fallet ovan är det då (n-1)/n d.v.s. 99/100 att vinna om man byter.

- Wikipedia (sv.): Monty Hall-problemet, något omformulerad

Problemet blev känt först 1990 sedan det publicerats i tidningen Parade. Omkring 10 000 läsare ska ha skrivit till tidningen och protesterat mot förklaringen. Många av dem var säkert civilingenjörer; en av de som tvivlade i det längsta var Paul Erdős, en av århundradets mest kända och produktiva matematiker (se särskilt artikeln om Erdőstalet). Så vi som är skeptiska till denna irriterande verklighet är i gott sällskap.

Horus öga för matematik

- Ur Alan Gardiners standarverk Egyptian Grammar (1927)

... Conjectures, originally put forward in a tentative fashion, lose their provisional character over time, even in the absence of any change in the quantity or quality of the evidence in their favour.

- Jim Ritter, Closing the Eye of Horus: The Rise and Fall of 'Horus-eye Fractions' (2003)

Ritters observation kan tillämpas på oerhört många faktoider. De kan börja som grundlösa hugskott eller intressanta men obekräftade hypoteser. Får de väl fäste kommer traderingar och tidens gång att slipa bort förbehållen. Och så småningom uppfattas de som absoluta fakta – utan att ett gram evidens tillkommit.

Exemplet här utgörs av uppfattningen att de fornegyptiska tecknen för olika bråkdelar, från 1/2 till 1/64, skulle ha utgjort beståndsdelarna av den berömda symbolen Horusögat. Idén lanserades 1911 av en tysk egyptolog som var medveten om dess hypotetiska status. Den gjorde sedan föga väsen av sig fram tills 1927, då den bifogades i bland annat Gardiners bok. Dess hypotetiska status hade nu tappats bort. Hädanefter nämndes den som ett faktum.

Att lansera en idé som folk tar för sann kan vara mycket svårt eller mycket lätt. Att visa att den är felaktig är oftare svårt än lätt. Ritter tog uppgiften på allvar. Hans Closing the Eye of Horus: The Rise and Fall of 'Horus-eye Fractions' (2003) reder ut hypotesens historia, tar upp en mängd egyptologisk forskning, studerar användandet av bråksymboler under olika perioder, med mera. Så småningom kommer han fram till att vad han kallar "den starka hypotesen", den som Gardiner gett stor spridning, är osann. Tecknen för bråkdelar utvecklades genom seklerna oc det är tydligt att de inte började som Horusögats detaljer. ("Den svaga hypotesen" är att egyptierna under senare perioder använde hieroglyfiska former som inspirerats av Horusmyten och anpassats efter hans öga. Ritter finner klara problem även här men inte tillräckliga för att avfärda den helt.)

Expressen trollar med siffror

När Expressen frågade folkvalda M-politiker ute i landet om M bör ta makten med hjälp av SD-förhandlingar svarade över hälften ja.

 - 324 M-politiker: Ta makten med hjälp av SD, Expressen 18 september 2018

Över hälften! Det är ju avgjort nyhetsvärde. Efter att ha gått igenom ett antal mer eller mindre kända företrädare så kommer efter själva artikeln det som ibland kallas metoddelen, hur man genomförde undersökningen. Och då hittar man följande:

Webbundersökningen, som skickades ut via Netigate till 4 299 förtroendevalda inom Moderaterna i hela landet under måndagsförmiddagen, hade besvarats av 16 procent strax efter klockan 20 samma dag. 

609 personer svarade på frågan: ”Tycker du att M ska ta makten med hjälp av SD-förhandlingar om det krävs?” Av dessa svarade 324 ja, 285 svarade nej.

Svarade över hälften ja? Ja, av de som svarade alls. Men de 324 är bara 7 % av alla tillfrågade. Expressen må komma undan med rubriken men att skriva som de gör i ingressen är inte ens "att luras utan att ljuga" (vilket även är titeln på en liten pärla till bok av Erik Ryding) utan att ljuga, punkt.

Signifikanser

Många ord har olika betydelser i olika sammanhang. Vare sig betydelseskillnaderna är små eller stora finns potential att förvirra. En stor grupp av sådana ord är de som är såväl "allmänna" ord som facktermer. Och där hittar vi ett begrepp som är flitigt använt för tillfället – med två ganska så olika betydelser.

1 betecknande; betydelsefull
2 (statist.) säkerställd, inte slumpmässig: ett signifikant samband

- SAOL: signifikant

Om ett parti ökar "signifikant" från ena opinionsmätningen till den andra så tolkas det nog av många som betydelse 1: att det är en stor ökning. Men eftersom rapporten bygger på något som statistiker skrivit så är det förmodligen betydelse 2 som gäller: att det är en säkerställd ökning, att den reflekterar en faktisk förändring av opinionen och inte är något statistiskt mätbrus eller så.

Ett myror är fler än em elefanter

Swedenborgs oktala talsystem, ur En ny räknekonst (1718). Notera att too inte blir 326 utan 320.

Innan Emanuel Swedenborg förlorade sig i hallucinationer och avancerade bibeltolkningar ägnade han sig åt verkligheten, och det riktigt bra. En idé som var mer klurig än användbar (eller var åtminstone för trehundra år sedan) var hans förslag på ett oktalt talsystem. Rent matematiskt är det inget märkvärdigt; istället för att ha 10 som bas så har man 8. Det tal som skrivs 8 decimalt, 1000 binärt och VIII med romerska siffror skrivs 10 oktalt.

Det speciella med Swedenborgs system var talens namn. (Tanken var inte ny, någon generation tidigare hade Leibniz lanserat något liknande.) Som man ser i tabellen ovan skrivs siffrorna 1-7 med bokstäverna l s n m t f v eller u (det finns någon poäng med att 7 var en vokal). Storleksordningar uttrycks med vokaler. Talen 1-7 kan skrivas med ett e före, som i em = 4 eller et(t) = 5. 10 skrivs ly, 100 lú, 1000 lo, 10000 li osv. Det decimala talet 299 593 blir sju ettor oktalt, eller bokstaven l sju gånger; med vokaler för att ange storleksordningar blir det lalelilolulyl.

Rent matematiskt är alla talsystem lika bra. För oss människor är det nästan bara en fråga om övning, men det är onekligen praktiskt att kunna räkna på en normal fingeruppsättning. Ett system som däremot hade blivit väl knöligt var det som ingen mindre än Karl XII föreslog, med basen 64. Swedenborg fick i uppdrag att göra något med det, och lär så småningom ha blivit rätt irriterad över majestätets hopplösa fixa idé.

Oktala tal används ibland i datasammanhang. Jag har sett det någon enstaka gång, som i filrättigheter på Unix.

Källor:

• David Duner, The Natural philosophy of Emanuel Swedenborg: A Study in the Conceptual Metaphors of the Mechanistic World-View (2012 som jag tror blir novunym)
• David Duner, Talsystem på kunglig befallning, Forskning & Framsteg 1 december 2002 (novusys)

Hur slump ser ut

Här har vi två prickiga ytor. På den ena är prickarna utsatta slumpvis, på den andra inte. Vilken är vilken?

Med tanke på hur dåliga vi är på att känna igen ren slump så måste man dra slutsatsen att vi stöter på den märkvärdigt sällan. Ett tillfälle skulle kunna vara i kasinot, där den som varken spelar helt på måfå eller till äventyrs har en Plan för att spränga banken kan studera utfallet i rouletten. De lite proffsigare anläggningarna i den stilen har ju en rad med siffror som visar kulans senaste val, och som hjälp åt de som inte kan sådant utantill anges om siffrorna ifråga är röda eller svarta. Nog tänker man, som vanlig enkel människa, att om kulan stannat på fem svarta nummer i rad så är det på något sätt dags för rött att dyka upp? Varefter vi lägger vår insats på ett rött nummer – och vinner, eller förlorar. (Sannolikheterna för endera är ekvivalenta, med det gröna utfallet som en irriterande komplikation.)

En (för de flesta av oss) vardagligare tillämpning är de dosor som bankerna delar ut så att vi kan utföra våra bankärenden själva istället för att slita på personalen. De koder som dyker upp på displayen för att knappas in är visserligen inte slumpmässiga, men i sammanhanget är det en mycket stor poäng att de inte följer något mönster. I varje position är det lika stor sannolikhet för varje siffra 0-9 att dyka upp; det är slumpmässigare än det mesta vi brukar stöta på. Men nästan varje gång jag utfört proceduren har jag hittat mönster, detaljer som gör att sifferföljderna ter sig mindre slumpmässiga: Samma siffra dyker upp två eller tre gånger, ibland rentav i följd; det förekommer stigande sekvenser à la "456"; upprepningar i stil med "5256"; nog så ofta är alla siffrorna udda eller jämna; och så vidare.

Vilket inte innebär att dosans sifferföljder inte är slumpmässiga, utan att jag lyckas hitta mönster även i slumpen. Faktum är att om jag hade fått välja siffror själv, efter vad jag tycker är slumpmässigt, så hade resultatet blivit långt ifrån slumpmässigt. Det finns en klassisk övning i statistik där studenterna antingen får singla slant X antal gånger och anteckna utfallen, eller låtsas singla slant och hitta på utfallen; varefter professorn med lätthet visar vilka som gjort vad.

Bildparet ovan kommer från Stephen Jay Gould, Bully for Brontosaurus (1992). Han kallar den vänstra stars eftersom dess prickar, likt stjärnorna på himlavalvet, är utsatta på måfå. Den högra bilden heter worms: En position väljs på måfå men får en prick om och endast om alla omgivande positioner är tomma.

Algoritmen inspirerades av lysmaskarna i Waitomo-grottorna på Nya Zeeland. De sitter i ett till synes slumpmässigt mönster som ger intryck av stjärnhimmel ... Men avslöjas, rent matematiskt, av deras vana att inte sätta sig intill varandra. Det ger ett mönster som är mer jämnt fördelat vilket tydligen tilltalar våra "slumpkörtlar"; det verkar mer slumpmässigt än det verkligt slumpmässiga, som tvärtom kännetecknas av hopklumpningar, antydningar till linjer och andra mönster.

Napoleon, Gud och Laplace (och Newton)

Så här brukar episoden berättas: Pierre-Simon, markis av Laplace (1749-1827) var en mångkunnig matematiker, astronom m.m. Han gav 1799 ut Mécanique céleste, "Den himmelska mekaniken", vari solsystemet beskrivs med gravitationens matematik. Den blivande kejsar Napoleon fick höra att Gud inte nämndes en enda gång i hela verket. Han frågade författaren hur det kunde komma sig. Laplace svarade artigt att han inte hade behov av den hypotesen.

Inget dåligt svar! Och ingen dålig gudsbild, kanske den mest vetenskapliga av dem alla: Inget hetsigt bildstormande eller omständligt motbevisande, utan fullständigt ointresse för irrelevanta sagor. Ur den synvinkeln spelar det ingen roll om episoden inträffat och Laplace sagt det som tillskrivs honom. Vilket kanske är lika bra ... För som så ofta när det gäller goda berättelser med kända deltagare som säger klipska saker så har den nog aldrig inträffat.

Citatet finns inte med i den enda samtida beskrivningen av Laplace och Napoleon diskuterande vetenskap, som kommer från en annan av tidens stora, förlåt, stjärnor:

The first Consul then asked a few questions relating to Astronomy and the construction of the heavens to which I made such answers as seemed to give him great satisfaction. He also addressed himself to Mr Laplace on the same subject, and held a considerable argument with him in which he differed from that eminent mathematician. The difference was occasioned by an exclamation of the first Consul, who asked in a tone of exclamation or admiration (when we were speaking of the extent of the sidereal heavens): ‘And who is the author of all this!’ Mons. De la Place wished to shew that a chain of natural causes would account for the construction and preservation of the wonderful system. This the first Consul rather opposed. Much may be said on the subject; by joining the arguments of both we shall be led to ‘Nature and nature’s God’.

- Sir William Herschels dagbok, 8 augusti 1802

Wikipedia: Pierre-Simon Laplace#I had no need of that hypothesis

Även om Bonaparte sannerligen inte var något dumhuvud tror jag inte att han läste de fem bukiga och formelstinna volymerna själv. Här ett relativt läsligt (jo) smakprov ur Mécanique céleste: vol 2, kap 4, vari sfäroidens (nästan en sfär men inte riktigt) natur reds ut.

En detalj kan vara värd att tas upp. När Newton var den förste som beskrev solsystemet matematiskt funderade han över det faktum att planeterna inte bara påverkas av solen utan även av varandra. När till exempel jorden passerar Mars rubbas bådas banor en anings aning; sannerligen inte mycket, men eftersom alla planeter råkar ut för sådana störningar, regelbundet och med astronomiska mått mycket ofta, så borde den ackumulerade effekten vara tillräcklig för att till slut få det planetära urverket att kollapsa och planeterna skingras för solvinden. Att så inte sker sägs, enligt ett spritt påstående, Newton ha förklarat med den sämsta av förklaringar: Det var Gud som då och då såg till att justera det hela.

Denna bakgrund har föreslagits som förklaring av vad Laplace menade: Han hade studerat frågan noggrannare än Newton och lyckats visa att solsystemet verkligen är stabilt, att ovan nämnda störningar balanserar varandra på lång sikt. Det var det han menade med Gud som en "onödig hypotes".

Nu verkar det visserligen inte säkert om Newton verkligen lade fram någon hypotes om Gud i decimalerna; se Jon Garvey: Newton and the God of the gaps, bloggen The Hump of the Camel 3 juli 2013. Å andra sidan kan även en inbillad händelse ligga till grund för en verklig, nämligen om Laplace trodde att Newton sade det som tillskrivs honom. Eller kanske Laplace oriktigt påstås ha trott det som tillskrivs Newton ...

Galna snillen #3: Gödel och Leibniz-konspirationen

Gottfried Wilhelm Leibniz (som gärna stack in ett "von" i sitt namn) är ett av vetenskapens främsta namn. Han förefaller att ha verkat inom nästintill alla discipliner som fanns tillgängliga: matematik, fysik, kemi, mekanik, etymologi, arkeologi, geologi ... Liksom även teologi och politik. Hans produktion var sannerligen oöverskådlig. Hittills ska 57 volymer med hans skrifter ha getts ut, och fortfarande, 300 år efter hans död, pågår arbetet; se Leibniz-Edition - Die Akademie-Ausgabe för senaste nytt.

Givetvis, är man frestad att säga, bar inte alla hans hugskott den frukt som kräver såväl tid och möda som en gångbar idé till att börja med. Till dem hör hans kanske (nu gissar jag bara) mest storstilade projekt: Characteristica Universalis. Det skulle bli ett formaliserat och universellt språk med vilket såväl vardagliga som vetenskapliga, matematiska och även metafysiska resonemang skulle kunna föras, helt oberoende av brukarnas modersmål. Dessutom skulle dess grammatiska regler vara strikt logiska, på så sätt att resonemangen och därmed slutsatserna automatiskt blev korrekta, givet att premisserna var korrekta. Matematikens "språk" gör det ju möjligt att konstruera och härleda matematiska utsagor som har samma betydelser och är lika sanna vare sig matematikern råkar tala tyska, franska, svenska eller kinesiska; med Leibniz universella språk skulle man kunna göra motsvarande operationer med allt vetande.

... En sorts generell algebra i vilket alla logiska sanningar skulle reduceras till en sorts matematik. Samtidigt skulle detta bli en sorts universellt språk eller skriftspråk, om än fullkomligt olikt alla sådana språk som hittills föreslagits; för tecknen och orden i sig själva skulle styra tanken, och felen — förutom rena sakfel — skulle enbart utgöras av räknefel. Det vore mycket svårt att utforma eller uppfinna detta språk eller skriftspråk, men mycket lätt att lära sig utan någon ordbok.

- Leibniz i ett brev till Nicholas-François Remond, 10 januari 1714

Mycket svårt men mycket lätt ... Likt tallösa andra, mer eller mindre briljanta, infall genom historien kom tänkaren ingen vart. Och likt hans många kolleger skyllde han på omgivningens bristande förståelse, på att redan en begränsad version i demonstrationssyfte skulle kräva större insatser än vad han för tillfället mäktade med, med mera. Ett luftslott, helt enkelt; vaporware på 1700-talet.

En faktoid koppling kan ses i de jämförelser Leibniz gjorde med kinesiska. Han uppfattade det skriftsystemet som ren ideografi: Istället för att utgöra nedskriven fonetik så var kinesiska tecken, menade han, "idéer", som den i kinesiska kunnige uppfattade direkt. Textens budskap gick så att säga direkt in i hjärna utan att ta omvägen via något hörselcentrum, grovt uttryckt. Så är dock inte fallet: Kinesiska fungerar inte på det sättet. Men det var så som Leibniz och många med honom, såväl förr som senare, tänkte sig det hela.

Så idén om det "universella språket" blev aldrig mer än just en idé, och något annat hade väl heller aldrig kunnat bli fallet. Characteristica Universalis föll i glömska. Det var desto lättare som Leibniz producerat så oerhört mycket som var värdefullt och användbart på riktigt.

Wikipedia: Characteristica Universalis

I början av 1930-talet publicerade den österrikiske matematikern Kurt Gödel sina så kallade ofullständighetssatser. I dem bevisade han att ett fullständigt och konsistent axiomsystem för all matematik är omöjligt. Det var ett paradigmskifte, något av matematikens motsvarighet till relativitetsteori och kvantfysik: Den rena matematiken var inte så fulländad som man tänkt sig, åtminstone inte på det sätt man tänkt sig. I ett slag blev Gödel världsberömd. I alla fall bland matematiker.

Sedan diverse icke-matematiker gjort Europa allt otrevligare, med Anschluss och krigsutbrott med mera, begav sig Gödel till Princeton och IAS, Institute for Advanced Study. Det var ett elfenbenstorn där stjärnforskare som han kunde lämna den besvärliga och ovetenskapliga omvärlden bakom sig och helt gå upp i sin forskning, utan att behöva bekymra sig för anslag, studenter, tredje uppgiften eller ens akademiska intriger. Där blev han kvar till sin död 1978.

I Princeton bedrev Gödel blandad forskning med blandat resultat. Han blev intresserad av frågor som låg utanför matematiken och fysiken, som till exempel filosofi. Som när han sade sig ha löst en gammal invändning mot platonismen, eller när han 1970 visade upp ett Gudsbevis. Hans insatser i det fältet kom, för att uttrycka det snällt, inte att röna samma uppskattning som hans ofullständighetssatser.

Och så var det Leibniz ... Gödel hade tidigare upptäckt Characteristica Universalis. Han noterade att Leibniz gärna lade ut texten om språket, hur det skulle konstrueras och användas och så vidare, men sällan gick in på specifika detaljer. Det torde bero på att det inte fanns så mycket specifikt att berätta om. Men den förklaringen köpte inte Gödel. Han var övertygad om att Leibniz fått gjort mycket, mycket mer än så, men att detta av någon anledning hade tystats ner. De som gav ut Leibniz samlade verk såg till att den "förbjudna" kunskapen inte läckte ut. En Leibniz-konspiration, helt enkelt.

Gödel's idea of a Leibniz conspiracy is significant because here Gödel was perhaps thinking of himself as much as Leibniz. He too deemed himself the victim of a conspiracy against the Leibnizian world-view, a conspiracy attributable not so much to identifiable individuals as to the Zeitgeist [ingen koppling till filmen!]. And in this regard too Gödel saw himself and Leibniz as sailing in the same boat. For, so he believed, Leibniz did not publish much of his most important logical work because he "was waiting ... till the seed could fall on fertile ground."

- Nicholas Rescher, Studies in Leibniz's Cosmology (Ontos Verlag 2006), sid 148

Gödel uppvisade med åren allt fler tecken på förföljelsemani. Han trodde att folk försökte förgifta honom och åt bara det som hans fru lagat. När hon lades in på sjukhus vägrade han att äta över huvud taget och svalt ihjäl.

Turings maskin

Mike Davey: A Turing Machine in the Classical Style

On Computable Numbers från 1936 (han säger fel år i filmen men det står rätt på hemsidan) är en av de riktigt klassiska avhandlingarna som hör till den lite djupare allmänbildningen. Den ska man känna till (om än inte behärska, det är en helt annan sak...) oavsett hur intresserad eller ointresserad man är av matematik eller datorer. För Turingmaskiner är inte bara något som än idag lärs ut inom logik och relaterade ämnen, utan i princip de grunkor som gör det möjligt för dig att läsa det som du läser just nu. Bland mycket, mycket annat.

"...A machine which..."

För det vi ser här är, i princip, datamaskinens andliga födelse: En tankekonstruktion och matematisk modell skapad av Alan Turing. Syftet var att lösa ett knivigt talteoretiskt problem som säkert sysselsatte flera dussin matematiker vid den här tiden ... Ja, den siffran hittade jag på, men det är ett faktum att talteori och matematisk logik var en smal och udda kvist på matematikens träd, ansedd som den renaste, mest världsfrånvända matematik som tänkts ut, rentav ännu mer så än topologin.

When I was a student, even the topologists regarded mathematical logicians as living in outer space

- Martin Davis (1928-)

Thank God that number theory is unsullied by any application

- Leonard Dickson (1874-1954)

Det dröjde emellertid inte länge innan Turing fann ett användningsområde som kanske någon skulle vara intresserad av och rentav betala en slant för: chiffrering och dechiffrering. Han funderade på att tota ihop en praktiskt taget oknäckbar chiffermaskin och sälja den till brittiska staten. Men så kom kriget, och han togs i tjänst ändå ... Fast den historien känner ni nog till.

Och sedan dess har man hittat fler användningsområden, för talteori och Turings maskin i dess många olika inkarnationer.

Skrönan om Diderot och Euler

Här har vi den store encyklopedisten Denis Diderot (t v) och den store matematikern Leonhard Euler. De levde båda på 1700-talet, det skilde bara några år emellan dem. Diderot tillbringade 1773-74 några månader i den ryska huvudstaden St Petersburg, där Euler levde största delen av sitt liv. Man kan utgå ifrån att de lärda herrarna träffades — men det gick definitivt inte till på det sätt som det beskrivs i denna spridda skröna.

Katarina bekymrade sig för Diderots ateistiska inflytande på omgivningen. Hon bad den innerligt kristne Euler om hjälp. Denne sade sig ha ett bevis för Guds existens, och utmanade Diderot inför publik: "a + b upphöjt till n genom n är lika med x, alltså finns Gud, vad säger du nu?"

Enligt skrönan begrep sig Diderot inte alls på matematik utan tappade hakan, och fann djupt generad för gott att lämna hovet och landet.

Denna historia förefaller att vara särskilt populär bland matematiker, snarare än religiösa. Den är dock inte sann. Givet vad vi vet skulle den heller inte kunna vara det, av flera skäl. Euler skulle knappast ha nedlåtit sig till att genera en lärd herre på det sättet, allra minst med ett löjligt "Gudsbevis" som måhända gränsade till blasfemi. Dessutom så hade Diderot mycket god koll på matematik, och kände inte minst igen trams när han såg det.

Den första versionen av skrönan har spårats till Dieudonné Thiébault, Mes Souvenirs de vingt ans de séjour à Berlin (1801). En version återgavs av den engelske matematikern Augustus De Morgan, och det var den som fick spridning.

Enligt min källa Brown hade De Morgan justerat berättelsen på tre punkter:

1. Den matematiska formeln är lite annorlunda.
2. Matematikern identifieras som Euler.
3. Hos Thiébault blir Diderot inte ställd, men märker snart omgivningens fientlighet och väljer därför att avvika. Att algebra var "rena hebreiskan" för honom var De Morgans tillägg.

Den första punkten kan svårligen spela någon roll.

Den andra punkten är intressantare, även om det knappast fanns så värst många matematiker vid hovet vid den aktuella tidpunkten (och garanterat ingen i Eulers klass).

Den tredje punkten är kanske avgörande för skrönans spridning: Att Diderot utmålas som en löjlig figur, offer för ett practical joke. Skillnaden mellan en idé som får genomslag och en som inte får det behöver inte vara uppenbar. Däremot är det uppenbart att episoden är grovt orättvis mot både Euler och Diderot.


Källa:
- B. H. Brown, "The Euler-Diderot Anecdote", Isis vol 49, nr 5 (maj 1942)

Myten om det gyllene snittet

Om vi delar upp en sträcka i A och B, så att A+B förhåller sig till A som A förhåller sig till B: A+B/A = A/B. Då har vi fått det så kallade gyllene snittet, skrivet med den grekiska bokstaven fi, φ. (Värdet är för övrigt ca 1,618, eftersom 1/1,618 = 0,618.)

φ är ett mycket intressant matematiskt begrepp. Likt π och e återkommer det lite här och var, inte minst på ställen som man inte skulle tro hade med gyllene snittet att göra. Det återkommer även inom biologin, fast kanske inte fullt så ofta och exakt som påståtts.

Och så har vi den historiska konsten och arkitekturen. Nu börjar de riktigt feta faktoiderna om det gyllene snittet hopa sig.

Först ett viktigt begrepp: En gyllene rektangel, med sidorna φ och 1, sägs vara den mest estetiska, den som flest pekar ut om de ur en samling med blandade rektanglar ska välja den mest tilltalande. Dock verkar stödet för detta påstående vara svajigt.

Overall, the golden ratio has been found to be significant, insignificant, or somewhere in between by countless studies, each offering a different conclusion.

 - The Myth of the Golden Ratio: Phi in Psychology

Genom åren har folk hittat mängder av gyllene rektanglar i byggnader och tavlor. Med tanke på hur man gått tillväga så är det oundvikligt. Här är det kanske mest använda exemplet:

Once its ruined triangular pediment is restored, the ancient temple fits almost precisely into a golden rectangle.

- Typiskt exempel från Golden Section in Art and Architecture

Den största rektangeln slutar på ett godtyckligt ställe mitt i trappan, på en bild som är tagen från marken, med mera; och ändå blir det bara "almost precisely". Och detta är det bästa exemplet på hur grekerna påstås ha använt det gyllene snittet? Det hade inte övertygat många, om folk inte redan hade "vetat" hur det låg till.

Dessutom problematiseras sällan påståendet. Man påpekar sällan att de historiska beläggen för att greker, romare, egypter m.fl. använde sig av det gyllene snittet är obefintliga. Tvärtom lägger man fram det som ett odiskutabel faktum. I ett sådant sammanhang kan även dassiga illustrationer ge intryck. Vilket demonstreras av att myten hängt med så länge och finns på så många ställen, även bland folk som borde veta bättre.

Leonardo tillskrivs också det gyllene snittet. Återigen har man hittat det man letat efter. Återigen är beläggen för att han medvetet skulle ha använt sig av det obefintliga.

I hans ofullbordade tavla med Hieronymus (mest känd för Versio Vulgata, den latinska bibelöversättningen) har man lagt in en tjockt linjerad rektangel som snuddar eller sammanfaller med en del av den heliges konturer. Återigen är detta ett av de "bästa" exemplen på att Leonardo da Vinci skulle ha varit förtjust i φ och dess rektanglar.

Many books claim that if you draw a rectangle around the face of Leonardo da Vinci's Mona Lisa, the ratio of the height to width of that rectangle is equal to the Golden Ratio. No documentation exists to indicate that Leonardo consciously used the Golden Ratio in the Mona Lisa's composition, nor to where precisely the rectangle should be drawn. Nevertheless, one has to acknowledge the fact that Leonardo was a close personal friend of Luca Pacioli, who published a three-volume treatise on the Golden Ratio in 1509 (entitled Divina Proportione).

- Mario Livio, The golden ratio and aesthetics

Det är inte svårt att hitta det mytiska påståendet i den största källan av dem alla:

The ancient Egyptians and ancient Greeks knew about the golden ratio and regarded it as an aesthetically pleasing ratio.

- Wikipedia: Mathematics and art

Samtidigt nämner andra artiklar hur det faktiskt ligger till, styrkt av påpekanden från folk som vet vad de talar om:

The Parthenon's façade as well as elements of its façade and elsewhere are said by some [vilka? med vilken rätt?] to be circumscribed by golden rectangles. Other scholars deny that the Greeks had any aesthetic association with golden ratio.

- Wikipedia: Golden ratio: Applications and observations

En av de som citeras är Keith Devlin, vars excellenta The Myth That Will Not Go Away var huvudkällan för denna utläggning.