Faktoidpodden avsnitt 22: Matematik

Om olika sorters mille, billions och megabyte. Vad är det för skillnad på en algoritm och en logaritm, bortsett från att det är helt olika saker? Och framför allt tar vi en titt på det gyllene snittet, några faktiska egenskaper och några inbillade, och dess likhet med en pyramid.

Här finns avsnittet som prat

Det här avsnittet ska handla om matematiska faktoider, eller åtminstone faktoider med en eller annan koppling till matte. Den exaktaste av vetenskaper, så grundläggande i vår verklighet att man diskuterar om det alls är en vetenskap, eller kanske någonting annat. Givetvis finns det faktoider även där. 

Nu är det visserligen rätt lättviktigt material, det mesta jag ska ta upp här. Jag är säker på att det i matematiken, liksom i alla andra ämnen, finns avancerade faktoider, som man behöver ha ett par tre högskoleterminer innanför bältet, minst, innan man kan ens börja begripa vad det handlar om. Sådant ska jag, som vanligt, inte ta upp. Avsnittets faktoider är fullt begripliga även om man inte kan mycket mer än plus, minus och procent.

Hur som helst. Jag ska börja i den grunda änden, med några språkliga fallgropar inom matematikens område. En liten fallgrop gäller ordet mille. Det är inte så ovanligt, och, ja, vad betyder det? Idag är "mille" förkortning för miljon och ingenting annat. "Mille" finns inte med i SAOL men väl akademiens Svensk Ordbok. Där anges mycket riktigt betydelsen som "miljon, särskilt om pengar" med anmärkningen "vardagligt"; det är inget ord man hittar i statsbudgeten eller så. Slår man upp Svenska Akademiens Ordbok hittar man också mille, men vad betyder det där? – I SAOB betyder "mille" tusen! Med anmärkningen "i synnerhet i fackspråk".

Man kan till exempel hitta spikförpackningar som anges
innehålla "1 mille" – inte en miljon spikar då, utan tusen.

Artikeln i SAOB är från 1944, ska sägas. Numera finns väl tusen-betydelsen bara kvar i begreppet promille, tusendel. Jag vet inte när tusen-mille övergick till miljon-mille, men antar att det var utan större krångel. Det är ju såpass stor skillnad mellan tusen och miljon att det för det allra mesta framgår av sammanhanget vilken storleksordning som gäller.

För det allra mesta … Nästa faktoid är en liknande språklig fallgrop, som kan man trampa i när man växlar mellan svenska och engelska. En svensk miljard, tusen miljoner, den heter ungefär likadant på danska och norska, tyska och franska, och flera andra språk. På engelska däremot, heter miljard som bekant billion. Det där har de allra flesta koll på, så det ska inte vara några större problem. Men det har varit betydligt värre. Länge var en brittisk billion tusen miljarder, en miljon miljoner, medan en amerikansk billion var en miljard. Det där hänger ihop med något som heter korta och långa skalan, i den ena ökar man med tusen för varje steg, i den andra en miljon. Men det är överkurs.

Det brittiska ordet för miljard var just milliard, men det användes mycket sällan. Sådana tal används väl mest inom ekonomi, och pundets värde gjorde att man sällan hade anledning att tala om belopp på milliard pounds. I vilket fall som helst så började från 1950-talet den amerikanska definitionen att bli allt vanligare i brittiska sammanhang. Då måtte det varit jobbigt – när folk använder samma ord med lite olika betydelser. Så småningom blev det för jobbigt, och man bröt i Storbritannen med den gamla betydelsen. På bland annat Wikipedia kan man hitta uppgiften att man bytte officiellt 1974. Hur gick det till? Så här: Parlamentsledamoten Robin Maxwell-Hyslop, från Tories förresten, ställde en officiell fråga till den nye premiärministern Harold Wilson, som förresten kom från Labour: Skulle hans regering använda ordet billion i den gamla brittiska betydelsen, en miljon miljoner, för att undvika förvirring? På vilket Wilson svarade att nej, de kommer att använda ordet billion i den internationella, som han skrev, betydelsen tusen miljoner, för att undvika förvirring. Det där är det "officiella" bytet. Jag känner inte till något annat fall där ett demokratiskt lands ledare beordrat hur ett ord ska användas, åtminstone inte där påbudet blivit åtlytt.

Att svenska miljarder är engelska billions är som sagt inget större problem. Men vad ska man tänka om man i en svensk text läser om biljoner? Är det någon som översatt slarvigt från engelskan, eller snarare inte översatt alls, eller avses verkligen svenska biljoner, som ju är tusen miljarder? Och som förresten heter trillions på engelska. Ej att förväxla med svenska triljoner, som är miljarder miljarder … Ja, i vanliga texter stöter man ju långt mer sällan på tal i den storleksordningen än miljarder och billions. I vetenskapliga sammanhang använder man ju prefix som mega, giga och tera, och dem är det ju långt mer ordning på än de vardagliga orden.

Nu ska jag ta upp några fallgropar som man kan hamna i när man använder prefix som mega, giga och tera. I vardagligt språk, när man inte pratar vetenskap eller möjligen el, är de överlägset vanligast inom data. Det kanske låter som en dum fråga, men hur mycket är en kilobyte? Kilo, det står ju för tusen, vet vi; ett kilogram är tusen gram, och då borde ju en kilobyte vara tusen byte? Nästan, men inte riktigt. En kilobyte är lite mer än tusen byte. Och en megabyte är lite mer än en miljon byte, och så vidare.

Det där har att göra med hur datorer räknar. Datorer jobbar ju innerst inne med ettor och nollor, och ingenting annat. När de räknar på egen hand, så att säga, så är det inte med det decimala systemet, där tal skrivs med siffrorna 0–9, utan det binära systemet, där tal skrivs med ettor och nollor.

I varje talsystem finns det vissa tal som är "jämna" och avrundade. I det decimala systemet är det tal som 10, 100 och 1000. I det binära systemet är det tal som till exempel 16 och 64 och 256. Det är därför de talen ideligen dyker upp i datasammanhang. Till exempel ser man ju aldrig USB-minnen på 10 Gb, eller 25 eller 50.

Ett sådant tal, som är "jämnt" och avrundat i det binära talsystemet, och därmed praktiskt för datorer, är 1024. Den tekniska anledningen, om man är intresserad av den, är att man med tio bitar kan räkna med tal från 0–1023. Man kan också formulera det som att för datorer är 1024 lika "jämnt", avrundat och käckt att räkna med som 1000 är för oss. Det är därför man en gång i tiden definierade kilobyte som, inte 1000 byte, utan 1024 byte. Det är ju praktiskt taget 1000 byte, men 1024 är mer hanterligt och praktiskt för datorerna.

Tar man 1024 x 1024 får man 1 048 576. Det är en megabyte. Inte en miljon byte, utan lite mer, nästan 5 % mer. Men det är ju praktiskt taget en miljon, och, åter igen, käckare för datorerna att räkna med.

Räknar vi vidare ser vi att en gigabyte är en miljard byte plus 7,3 %. Och en terabyte är en biljon byte – tusen miljarder – plus nästan 10 %. Skillnaderna mellan, ska vi säga, det förväntade antalet och det faktiska blir större ju större tal vi använder.

Spelar det här någon praktisk roll? Jag känner inte till något faktiskt problem med systemet. Däremot hade det definitivt ställt till med problem om man en gång i tiden sagt att nä! en kilobyte ska vara ettusen byte, prick! Det hör man ju! Och tillverkat datorer där ett minne på 4 096 byte vart på 4,096 kbyte. Eller ännu värre, haft minnen på prick 4 000 byte istället för mer hanterliga 4096 byte. Då hade man fått krångel.

Hur som helst så finns det folk som bekymrat sig för skillnaderna. De har tagit fram nya prefix där man skiljer på de som är praktiska för folk och de som är praktiska för datorer. I det systemet så är en kilobyte exakt tusen byte, en megabyte exakt en miljon byte och så vidare. Om man har 1024 byte, ja, det kallas en kibibyte. En miljon 48 000 och så vidare kallas mebibyte. Sen kommer gibibyte och tebibyte. Jag vet inte om de här enheterna slagit igenom någonstans, bland vanliga användare. Om ni ser förkortningar som "KiB", med i:n inuti, så står det för "kibibyte" och så vidare, medan "KB" står för "kilobyte".

Jag tar ännu en språkfråga, åter igen med koppling till såväl matematik som datorer. Den här är definitivt liten och oviktig. Det gäller algoritmer och logaritmer. Vad är det?

En algoritm definieras som en systematisk procedur som anger hur man utför en beräkning eller löser problem. "Systematisk procedur", det kan bli ett program, det. Eller åtminstone en del i ett program, som löser eller beräknar något särskilt moment.

En logaritm, ja, det är något helt annat, till att börja med. Jag vet inte om det är lättare eller krångligare att beskriva, men det låter åtminstone värre. Så här: I Nationalencyklopedin definieras "logaritm" som "den exponent till vilken ett positivt tal a måste upphöjas för att ett givet tal x skall erhållas". Okej … Om man till exempel använder tiologaritmer, där a = 10, så behöver man upphöja 10 till 1 för att ge just 10; 10 upphöjt till 2 ger 100, och så vidare. Så tiologaritmen för 10 är 1, för 100 är den 2, och så vidare. Och man är inte alls begränsad till "jämna" tal heller, tiologaritmen för, ska vi ta, 55 är lite drygt 1,74. Sen finns det andra sorters logaritmer man kan använda, och som man använder.

Det här ligger lite utanför de fyra räknesätten. De allra flesta stöter aldrig någonsin på logaritmer, och mår alldeles utmärkt för det. Inom vissa sorters matematik, fysik och andra vetenskaper är logaritmer som luften man andas: de finns överallt, eftersom de är väldigt praktiska och användbara inom vissa beräkningar och annat.

Hur är det med algoritmer då? Ja, de har åtminstone blivit omtalade på sista tiden. När man diskuterar vad Facebook eller Google, alltså själva datasystemen, gör med sina floder av data, så kallar man dem inte för "system" eller "program", utan man talar om deras "algoritmer". Inget fel på det, tvärtom; algoritmerna är det väsentliga. Jag misstänker visserligen att det inte är därför "algoritm" slagit igenom som nyord, utan att det är den vanliga aptiten på nya ord och begrepp som ligger bakom.

Hur som helst. Här har vi två olika ord, som båda kan uppfattas som datamässiga och avancerade, och som dessutom är väldigt lika, till det yttre i alla fall; de är ju rentav varandras anagram. Det är nog därför som folk ibland har förväxlat dem. Man kan se allvarliga debatter om filterbubblor eller patent på mjukvaror eller vad det nu är, där man då och då nämner programmens "logaritmer". Ja, det här är ju inget problem alls, eftersom det är uppenbart vad som avses. Men lite roligt tycker jag att det är.

Nu ska jag avsluta med en rejäl faktoid, rejäl på så sätt att den kräver lite mer bakgrund. Den börjar i matematiken, inga konstigheter så långt, men när den tillämpas på andra områden blir det betydligt intressantare; ur faktoid synpunkt, då. Det gäller det gyllene snittet. Är det känt?

För att diskutera det gyllene snittet måste jag först förklara vad det är. Det här kommer att ta en liten stund, men det får ni stå ut med.

Vi har en sträcka, en rak linje. Vi delar upp sträckan i två delar. Den kortare delen kallar vi a, den längre b. Om man gör den uppdelningen på ett speciellt ställe – om vi har en sträcka på en meter görs den strax före 62 cm – så kommer den kortare sträckan a:s förhållande till sträckan b att vara likadant som b:s förhållande till hela sträckan. Sträckan a:s förhållande till b är likadant som sträckan b:s förhållande till hela sträckan … Matematiskt uttryckt blir det a + b : b = b : a. Ja, det där blir tydligare i skrift, och det blir ännu bättre med en illustration. Framför allt blir det mycket enklare om man är matematiskt lagd och är van vid att tänka i termer av kvoter och sånt; men vi kör på.

Ta en kvadrat där a = 1. Lägg till en rektangel, så att den lilla
och stora rektangeln har samma proportioner. Då är a + b = φ.
Tänk så mycket enklare det kan bli med en bild …

Om vi sätter den längre sträckan b till 1, så blir hela sträckan a + b = 1,618033 … Och så vidare, så länge man vill faktiskt – den där decimalföljden tar aldrig slut. Det är bara en av många intressanta egenskaper hos det gyllene snittet som jag inte alls ska gå in på här. Nu blir det ju lite omständligt att använda en oändlig decimalföljd till vardags. Så när matematiker använder det här värdet, och det gör de då och då, brukar de förkorta det med en grekisk bokstav: lilla φ. Lilla φ är inte lika allmänt känd som lilla π, men båda används flitigt inom matematiken. På samma sätt kan värdet a, den kortare sträckan, skrivas som stora Φ.

Om du plockar fram en miniräknare, här och nu eller när som helst, så kan du göra ett enkelt test. Knappa in 1, och dividera det med 1,618033; vi nöjer oss med sex decimaler här. Resultatet blir … 0,618034, osv. Såg du? Det är ungefär samma decimalföljd, men inledd med en nolla istället för en etta. Det första talet är stora Φ, det andra lilla φ. Och ju exaktare värde på stora Φ vi använder, ju fler decimaler vi knappar in efter 1,618 osv, desto närmare kommer resultatet att ligga lilla φ. Det är en del av magin med det gyllene snittet.

Den förste som vi vet upptäckte det gyllene snittet var Euklides, omkring 300 f.Kr. Ibland nämns Pytagoras, han var igång ungefär 200 år tidigare, men det finns inga belägg för att han skulle ha känt till det gyllene snittet. Från Euklides tid blev grekiska matematiker mycket intresserade av ett antal egenskaper hos talet, som vi, som sagt, inte ska gå in på här. Men vi vet att det gyllene snittet var känt på den tiden.

Jag ska strax fortsätta med gyllene snittet och dess faktoid, men först en liten utveckling. Som rymmer en egen liten faktoid. Omkring år 1200 fanns en matematiker i Pisa. Han hette Leonardo, och därför kallades han, och kallas fortfarande, ibland, Leonardo av Pisa, på italienska Leonardo Pisano. Förväxlas ej med en senare Leonardo från staden Vinci, som förresten också ligger i Toscana.

Leonardo från Pisa gjorde en hel del saker som inte har med det gyllene snittet att göra. Som när han träffade muslimska matematiker och lärde sig det hindu-arabiska talsystemet, eller "arabiska siffror" som de brukar kallas, eftersom det var via dem det kom. Det systemet var oerhört mycket mer användbart för de allra flesta ändamål än det romerska, som man fortfarande använde för allt möjligt. Inte minst för att det nya systemet hade nollan, en uppfinning som är så enkel och ändå så gruvligt kraftfull att det är svårt att ta till sig. Nu tog det visserligen ett tag för just det här systemet att slå igenom i Europa. Men så småningom så var det just vad som hände, och vi använder det ju än idag, med 0–9 istället för I, VII, MCMLXIV och så vidare.

En annan sak som Leonardo gjorde var att uppfinna en talföljd. Man börjar med en helt liten talföljd, 1 och 1. Vi adderar de två talen: 1 + 1 = 2. Resultatet läggs till talföljden, som nu är 1, 1, 2. Vi lägger ihop de två sista talen, 1 + 2 = 3, och lägger resultatet till talföljden: 1, 1, 2, 3. Vi upprepar med de två sista talen och får en 5:a. Upprepar igen och får 8. Och så vidare. Talserien växer till 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 … Och så vidare.

Den talserien är hyfsat känd även utanför matematikerfacket, och ni har nog hört talas om den. Men med största säkerhet under ett annat namn på Leonardo. Det namnet kläckte man av någon anledning fram på 1800-talet. Sen dess har det satt sig, stenhårt, och lär aldrig gå bort. Trots att det är ohistoriskt. Men det låter medeltida och bra, och det är kanske därför det blivit som det blivit – jag vet inte. Namngivaren utgick från Leonardos far, som hette Guglielmo Bonaccio. "Bonaccios son" blir på latin filius Bonacci, vilket hopdraget blir Fibonacci. Fibonaccis talföljd, är vad den brukar kallas.

Fibonaccis talföljd har en mängd intressanta egenskaper som vi fortfarande inte ska gå in på. Utom en. Vi tar två tal i talföljden, vilka som helst, som ligger intill varandra. Till exempel 21 och 34. Och så dividerar vi dem med varandra. 21 : 34 ≈ 0,619 och 34 : 21 ≈ 1,619. Känns det igen? Och ju längre fram i Fibonaccis talföljd vi går och dividerar intilliggande tal, desto närmare ligger den förstnämnda kvoten stora Φ, och den andra kvoten lilla φ. Det gyllene snittet finns i Fibonaccis talföljd. Hur go e den? Ja, det gyllene snittet finns på ännu flera ställen i matematiken. Och inte bara där. Till exempel bildar fröna i en solros spiraler, där frönas antal följer Fibonacci-följden. Andra växter bildar spiraler av blad, där samma matematik kan spåras. Det gyllene snittet finns i naturen. Hur go e den?

Loggan för SVT:s Vetenskapens värld har en spiral, skapad av en serie gyllene rektanglar. Den spiralen har ofta förväxlats med pärlbåtens spiral. (Noga räknat är så kallade Fibonacci-spiraler och gyllene spiraler visserligen bra lika, men inte identiska.)

 

En pärlbåt och en Fibonacci-spiral. Ofta brukar man nöja sig med detta.

Men – allt som påstås följa det gyllene snittet i naturen gör det inte. Det mest kända exemplet utgörs av en bläckfisk som kallas pärlbåt, Nautilus. Dess vackra skal bildar en spiral där folk påstår sig kunna se den harmoniska matematiken. Men om man inte nöjer sig med påståenden utan faktiskt börjar mäta, så märker man att påståendena inte håller. Det gyllene snittet finns inte i pärlbåtarnas spiraler.

En som tog sig för att faktiskt mäta heter George Hart. Han gjorde sig även besväret att
ta fram en pärlbåts-modell som faktiskt återspeglar det gyllene snittet. Den ser inte
precis ut som de man hittar i naturen … Ses på Youtube: The Golden Ratio Nautilus.

Om man tar två intilliggande Fibonacci-tal och gör en rektangel av dem, så får man en så kallad gyllene rektangel. Den kan alltså vara 34 x 21 cm, eller 8 x 13, eller 987 x 610 och så vidare. Under renässansen hävdades att denna rektangel var den vackraste och mest harmoniska rektangel som tänkas kan. Konstnärer och arkitekter började använda sig av den. Och hur var det med de tidigare mästarna – nog borde de ha känt till den? Man började leta efter gyllene rektanglar i äldre verk … Och hittade dem också. Än idag kan man ofta se påståenden om att gyllene rektanglar, och andra manifestationer av det gyllene snittet, finns i, för att ta de två mest använda exemplen, Parthenon-templet på Akropolis (som förresten byggdes över hundra år innan Euklides föddes) liksom i tavlor av Leonardo da Vinci, i synnerhet Mona Lisa.

Typiskt exempel på Parthenon med gyllene rektanglar. Notera den godtyckliga
basen och de tjocka linjerna. Detta bevisar naturligtvis ingenting.

För att demonstrera det här visas bilder med inritade kvadrater, spiraler och linjer, dragna på ett sådant sätt att det visar det man vill visa. Men att den här linjen eller den här rektangeln skulle gå utmed just den här detaljen i Mona Lisa är inte alls självklart. Och om man tar en bild av Parthenon rakt framifrån, eller en planritning uppifrån, så finner man att den vid första påseendet enkla arkitekturen har en mängd detaljer som man kan rita upp rektanglar runt eller bredvid på olika sätt. Och får man det ändå inte att passa riktigt riktigt, så kan man alltid rita in dem med en tjockare penna.

En annan Leonardo-tavla där man lagt in en gyllene rektangel är ett
ofullbordat porträtt av Hieronymus, han som översatte Bibeln till latin.

Dessutom problematiseras sällan idén om det gyllene snittet i äldre arkitektur och konst; även om det blivit vanligare på senare år. Man har inte gjort som jag gör här, och påpekat att de historiska beläggen för att greker, romare, egypter med flera använde sig av det gyllene snittet är högst otydliga eller direkt obefintliga. Tvärtom lägger man fram det som ett odiskutabel faktum. I ett sådant sammanhang kan även dassiga illustrationer ge intryck. Vilket demonstreras av att myten hängt med så länge, och finns på så många ställen, även bland folk som verkligen borde veta bättre.

Att leta efter det gyllene snittet på det här sättet är en nära släkting till pyramidmätning. Vad är det? Pyramidmätning går ut på att man tager Kheops pyramid vid Giza – varför nu den pyramiden är den enda av Egyptens över hundra som duger. Sedan mäter man höjd och bredd och diameter och vinklar, man mäter avståndet från markytan till ingången, tunnelns längder utmed olika avsnitt, kamrarnas längder, höjder och bredder, man mäter stort och smått, högt och lågt, överallt där det finns något att mäta. Pyramidens grundform är visserligen nog så enkel, men på byggnaden finns det finns väldigt många detaljer att mäta, det går att få fram massor med tal. Sedan tar man dessa tal och adderar, subtraherar, multiplicerar och dividerar dem med varann, tills man fått fram något intressant. Som jordens omkrets, avståndet till solen, värdet på π eller e eller varför inte lilla φ eller stora Φ, eller något annat tal från matematik, fysik, geografi, astronomi eller vad man vill – det är bara att välja! – som visar att de gamla egyptierna hade mycket bättre koll på världen än man kunde förvänta sig. Om man nu tänker sig att det berott på kontakt med Gud eller andevärlden eller utomjordingar, eller att de helt enkelt var hyperintelligenta övermänniskor.

Sån här pyramidmätning började man med på 1800-talet. Den mest kände pyramidmätaren hette Charles Taze Russel, han är ännu mer känd som grundaren av en sekt som så småningom skulle kalla sig Jehovas vittnen. Enligt honom byggdes den stora pyramiden av Israels folk – det är en annan faktoid som jag berörde helt kort i Faktoidpodden: avsnitt 18 – som i byggnaden kodade in en mängd kunskap som de fått av Gud; Russel kallade rentav pyramiden "Bibeln i sten".

Ja, det där är, i korthet, vad pyramidmätning går ut på. Och med det avslutar jag faktoiden om det gyllene snittet, och detta avsnitt av Faktoidpodden.